外接円の問題01

高校入試問題解説 富山県

四角形に外接する円についての図形問題

中学数学の図形分野の様々な知識を使う問題です。
・平行四辺形の条件
・円周角の定理
・三角形の相似条件
主にこの3つの知識をつかって問題を解いていくことになります。
特に計算がやっかいなのは(1)②の四角形APBCの面積が△DBCの何倍になるか?の部分です。
最初のポイントは四角形をいくつかの三角形に分けて、順番に面積を求めていくことです。
すると、例えば次のような三角形が四角形の中にあることに気づくことができます。

このとき緑色の△BCDとピンク色の△BDPは高さが等しいですね。
こういう時、三角形の面積の比は、底辺の比で決まります。
底辺の比 = 面積の比 となるわけです。
また2つの三角形の底辺が等しければ、面積の比=高さの比で決まります。
この性質を覚えておけば、解き方を考えるのがかなり楽になるはずです。

【問題文】

下の図1,図2のように,線分ABを直径とする円Oの周上に2点A, Bと異なる点Cがある。
円Oの周上の点Pのとり方を(1), (2)のようにしたとき,次の問いに答えなさい。

(1)図1のように点Cを含まない弧AB上に2点A, Bと異なる点をとる。
またABとCPの交点をDとするとAD:DB=3:1, CD:DP=2:3であった。
このとき、次の問いに答えなさい。
① 円の半径が10cmであるとき、線分CPの長さを求めなさい。
② 四角形APBCの面積は△DBCの面積の何倍になるか求めなさい。

(2)図2のように弧AC上に2点A, Cと異なる点Pをとると, 弧BC=弧APであった。
またPC=AEとなるように,線分AB上に 点Eをとる。
このとき,四角形AECPが平行四辺形であることを証明しなさい。
ただし,弧AC,弧BC,弧APはそれぞれ短い方の弧を指すものとする。

(1)  ① 2/25√2 ② 10倍
(2)  省略
  • 超図解ズーミングによる解説

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