数の性質04 座標平面と数の性質の問題

高校入試問題解説 香川

座標平面の問題を数の性質で解く高校入試問題の解説

【問題文】

図1で、点Oは原点であり、点Pの座標は(a,b)でa,bはともに自然数である。
点Oと点Pを結ぶ線分OP上にあるx座標、y座標がともに自然数となる点の個数を考えたい。
たとえばa=4,b=8のときは図2のようになり、線分OP上にあるx座標、
y座標がともに自然数となる点は、(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)の4個である。
またa=4,b=7のときは図3のようになり、線分OP上にあるx座標、
y座標がともに自然数となる点 (4,7)の1個だけである。
これについて、次のア、イの問いに答えなさい。<香川県>

(ア)a=4のとき、線分OP上にあるx座標、y座標が
ともに自然数となる点が1個だけとなるような、
6以下の自然数bの値をすべて求めよ。

(イ)a=36のとき,線分OP上にあるx座標、y座標が
ともに自然数となる点が全部で6個となるような
2けたの自然数bのうち,最も小さい数を求めよ。

グラフの問題だと思うと、解けなくなる

問題文を読むと、グラフや一次関数のことを連想してしまいます。
でもそう考えてしまうと、すばやく答えを出すことができなくなってしまいます。
問題を別の視点から考えなおすことで、正しい解き方が見えてきます。

点Pの座標の、最大公約数に注目する

最大のヒントは、最大公約数を使うということです。
問題の点Pのx座標,y座標の最大公約数を求めると、ある関係に気づくことができます。
自然数、最大公約数という整数の問題におきかえて考えてみましょう。

(ア) 1, 3, 5
(イ) 30
  • 超図解ズーミングによる解説

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