数の性質 証明問題01

整数の証明問題01

【問題文 目標解答時間 4分30秒】

2けたの正の整数Mがある。
この整数の十の位の数と一の位の数との和をNとする。
このときM²–N²は9の倍数であることを
文字式を使って証明せよ。(香川県)

整数の証明問題の解き方は、まず結論から

多くの人が苦手とする証明問題。
「なぜそうなるのか?」を文章で論理的に説明するところが難しいですね。

整数の証明問題を考えるときは、ゴールから先に考えましょう。
「どんな形の式で表現できれば、証明できたことになるのか?」
この式の形を、最初にイメージしましょう。

その後で、問題文の設定にあわせて文字式を自分で作り、計算をしましょう。
計算した結果が、最初にイメージした式と同じになっていれば証明完了です。

整数Mの10の位をa,1の位をbとすると、M=10a+b, N=a+bとなる。
したがって、M²–N² = (10a+b)² – (x+y)²
= 100x²+20xy+y²–x²–2xy–y²
= 99x²+18xy
= 9(11x²+2xy)
(11x²+2xy)は整数だから、M²–N²は9の倍数である。(証明終了)
  • 超図解ズーミングによる解説

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