立体にかけたひもの長さを求める問題の解き方

ひもの長さを求める問題には解き方のパターンがある

ズーミングの教材開発者の尾間です。高校入試でよく出る問題の1つが「立体にかけたひもの長さの最短距離を求める」というものですね。
いったいなぜ面倒な思いをしてひもをピッタリとくっつけるようにして立体にかけなければならないのか。そもそもの設定にツッコミを入れたくなるところですが、「ひもの長さ」の問題を出すことで出題者は「空間図形の問題を平面におきかえて、計算できる」という数学的な実力をはかろうとしています。数学的な思考力と言っても高校入試レベルの試験では小学校・中学校で学んだ知識をきちんと使えば正解が出るものばかりです。

苦手意識を感じる人が多い「ひもの最短距離」の問題だって、解き方のパターンをつかんでしまえば怖くありません。このコラムの解説を読めば、立体にかけたひもの最短距離を求める問題の解き方が理解できるようになります。正しい解き方を知ってから問題演習をくりかえせば、高校入試本番でも解き方のパターンを当てはめて、正しい順序で考えて正解にたどり着けるようになりますよ。

ひもの長さは展開図をかいて平面で考えること!!

ここでは例題を見ながらひもの最短距離を求める問題の解き方のポイントを解説したいと思います。例題は次の通りです。

図のように直方体の頂点Bから辺CGを通って点Hまで、緩まないようにヒモをまきつけた。
このときの糸が最も短くなるときの長さを求めなさい。

直方体の必要な部分だけ展開図をかく

この問題を解くときは、直方体の展開図をかきます。しかし6つの面すべての展開図をかく必要はありません。
糸が通っている面だけをかけば問題は解くことができます。だから問題を解くのに必要な展開図をかくとこんな感じになります。

ひもの最短距離は2つの点を結ぶ直線の長さと等しい

この展開図上で、ひもの最短距離はどうなるでしょうか?
まさしくここが、ひもの最短距離を求める入試問題を解くためのポイントです。

展開図で2つの点を結んだ直線が「ひもの最短距離」になる!!

いまの例題の場合は、展開図上のひもの最短距離は次のような直線で表すことができます。

この点Bと点Hを結んでできた赤い直線が、ひもの最短距離になります。すると三角形BFHが直角三角形になっていて、赤い直線=斜辺ということが分かります。斜辺以外の辺BF、辺HFの長さは問題文で示されているので三平方の定理を使えば、斜辺の長さを計算で求めることができます。計算すると、斜辺=5√5ですね。

平面上の2つの点の最短距離は直線になる。これは当たり前ですよね。立体のままではイメージしにくかったことを平面の展開図におきかえて考えることで、とてもシンプルな問題として考えることができるようになります。この「立体から平面に視点を切り替えて考える」ということこそが、ひもの最短距離の問題で確実に点を取るためのポイントです。

立体にかけたひもの最短距離を求めるときのポイント

1.立体ではなく、平面の展開図をかいて考える
2.展開図上で2つの点を結んでできた直線が、ひもの最短距離になる
3.直線をかいた後は、その直線がふくまれている直角三角形がないかを探す
4.直角三角形を見つけたら三平方の定理を使って計算する
5.計算ミスがなければ、ひもの最短距離が求められる

なぜ展開図にかいた直線がひもの最短距離になるのか

ここまでの説明を読んだ人の中には、どうして展開図にかいた直線が立体にかけたひもの最短距離になるのか?がイメージできてない人もいることでしょう。おそらく頭の中がモヤモヤして、消化不良になったような気持ち悪さがあると思います。そういうときは、自分で立体に線をひいて確かめてみるのが良いでしょう。実際に手を動かしてみて目で見て納得できれば、紙の上の問題を解くときにも自信が持てます。

自宅にあるティッシュ箱の角と角を結ぶ線をマジックか何かでひいてください。マジックでかいた線が、ひもの代わりです。ティッシュ箱をはさみで切って平らな展開図にしてみましょう。長さが最も短くなるのは、2つの角をむすぶ直線だということに気づけると思います。

イメージトレーニングのためにティッシュ箱で実験することも効果的ですが、良質な過去問を使って何度も問題演習することが入試本番で通用する実力をつけるために一番重要なことです。同じ問題を何回も何回も解いて、ていねいな解説で学ぶことで「正しい解き方」をぜひ身につけてください。

円錐にかけたひもの最短距離を求める問題も同じ方法で解ける

ひもの長さが最も短くなるときの問題は、図形が円錐の場合でも解き方は同じです。展開図をかいて直線をひくことで立体を平面の図形におきかえて考えることができます。円錐にかけたひもが最も短くなるときの問題の解説については、こちらのコラムの記事を参考にしてください。
円錐にひもをかけて最短距離を求める問題の解き方

私たちの提供する「動く参考書」とも言えるデジタル教材、超図解ズーミングでは高校入試数学の過去問解説も提供しています。従来の紙の問題集では解説がなかったり、計算途中が省略されてわかりにくい部分も多いのですが、私たちは図や表を使って、始めから最後までどんな順番で解いていけば正解できるかを詳しく解説しています。無料でダウンロードできる問題集もあります。ちょっとだけ、宣伝でした…

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